Complete frozen rubricOriginal Italian record · exact JSON · SHA-256 3d2c7a327556…+
{
"rubric_version": "1.0",
"judge_spec_version": "2.0",
"item_id": "analisi_3_2025_primo_appello_esercizio_1",
"syllabus_macroarea": "Curve piane, integrali multipli ed estremi assoluti vincolati",
"topic": "Curva polare: disegno, lunghezza, tangente, area ed estremi assoluti su una regione compatta",
"task_type": "mixed",
"created_without_model_answers": true,
"frozen": true,
"reference_status": "verified",
"reference_notes": "La soluzione di riferimento è stata verificata indipendentemente. Con rho(theta)=3-2 sin(2 theta), rho'(theta)=-4 cos(2 theta). In theta=pi/2 si ottengono gamma=(0,3) e gamma'=(-3,4), quindi y=-4x/3+3. L'area è (1/2) integrale_0^pi rho^2 dtheta=11pi/2. Sul bordo curvo F=(3-2 sin(2theta))(cos theta-sin theta) ha come unico punto stazionario interno theta=3pi/4; il confronto con gli estremi del segmento sull'asse x dà massimo 3 in (3,0) e minimo -5sqrt(2) in (-5sqrt(2)/2,5sqrt(2)/2). Nessun dubbio sostanziale sulla reference.",
"subproblems": [
{
"id": "a",
"weight": 0.3684210526315789,
"request": "Disegnare la curva polare Gamma per 0<=theta<=pi, scrivere l'integrale che ne calcola la lunghezza e determinare la retta tangente per theta=pi/2.",
"expected_results": [
"Gamma è l'arco semplice parametrizzato da gamma(theta)=((3-2 sin(2theta))cos theta,(3-2 sin(2theta))sin theta), 0<=theta<=pi, tutto nel semipiano y>=0.",
"Il disegno passa per (3,0), (sqrt(2)/2,sqrt(2)/2), (0,3), (-5sqrt(2)/2,5sqrt(2)/2), (-3,0), mostrando una rientranza a destra e un rigonfiamento a sinistra.",
"L=integrale_0^pi sqrt((3-2 sin(2theta))^2+16 cos^2(2theta)) dtheta.",
"La tangente in theta=pi/2 è (x,y)=(0,3)+t(-3,4), t reale, equivalentemente y=-4x/3+3 o 4x+3y-9=0."
],
"required_conditions": [
"Usare l'intervallo completo 0<=theta<=pi.",
"Riconoscere che 1<=rho(theta)<=5, quindi la parametrizzazione non cambia semiretta per un raggio negativo.",
"La tangente è definita perché gamma'(pi/2)=(-3,4) è non nullo."
],
"accepted_equivalences": [
"Qualunque schizzo geometricamente equivalente con punti e andamento corretti.",
"Forme non espanse ma equivalenti dell'integrando della lunghezza.",
"Qualunque forma parametrica, implicita o esplicita equivalente della retta tangente."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Determinazione della tangente tramite dy/dx=(dy/dtheta)/(dx/dtheta).",
"Costruzione del disegno mediante tabella di valori, simmetrie della funzione radiale o analisi qualitativa della parametrizzazione."
]
},
{
"id": "b",
"weight": 0.2105263157894737,
"request": "Calcolare l'area della figura A racchiusa da Gamma e dall'asse x, bordi compresi.",
"expected_results": [
"A={(r cos theta,r sin theta): 0<=theta<=pi, 0<=r<=3-2 sin(2theta)}.",
"Area(A)=(1/2) integrale_0^pi (3-2 sin(2theta))^2 dtheta=11pi/2."
],
"required_conditions": [
"Gli estremi angolari sono 0 e pi e il raggio varia da 0 a rho(theta).",
"Il bordo sull'asse x è il segmento [-3,3]x{0}."
],
"accepted_equivalences": [
"Integrale doppio polare integrale_0^pi integrale_0^rho r dr dtheta.",
"Calcolo cartesiano o decomposizione geometrica equivalente che dia 11pi/2."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Integrazione doppia in coordinate polari.",
"Uso diretto della formula dell'area racchiusa da una curva polare positiva."
]
},
{
"id": "c",
"weight": 0.4210526315789474,
"request": "Determinare gli estremi assoluti di f(x,y)=x-y su A e giustificarne l'esistenza.",
"expected_results": [
"A è compatto e f è continua, dunque gli estremi assoluti esistono per il teorema di Weierstrass.",
"Non vi sono punti critici interni perché grad f=(1,-1) non si annulla.",
"Sul bordo curvo F(theta)=(3-2 sin(2theta))(cos theta-sin theta) e F'(theta)=-(cos theta+sin theta)(4(cos theta-sin theta)^2+3-2 sin(2theta)).",
"La seconda parentesi è strettamente positiva e l'unico punto stazionario del bordo curvo in (0,pi) è theta=3pi/4.",
"Il massimo assoluto è 3, assunto in Q=(3,0).",
"Il minimo assoluto è -5sqrt(2), assunto in R=(-5sqrt(2)/2,5sqrt(2)/2)."
],
"required_conditions": [
"Considerare interno, bordo curvo e segmento sull'asse x, inclusi i due vertici.",
"Confrontare i valori in tutti i candidati: R, (-3,0), (3,0).",
"Per l'esistenza, motivare sia la compattezza di A sia la continuità di f."
],
"accepted_equivalences": [
"R=(-5/sqrt(2),5/sqrt(2)).",
"Minimo espresso come -10/sqrt(2).",
"Una fattorizzazione algebricamente equivalente di F'."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Moltiplicatori di Lagrange sul bordo curvo, con trattamento separato del segmento e dei vertici.",
"Ottimizzazione diretta di f in coordinate polari.",
"Argomento geometrico rigoroso mediante rette di livello o funzioni di supporto, purché copra tutto il bordo e identifichi gli stessi estremi."
]
}
],
"atomic_criteria": [
{
"criterion_id": "a_T1_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 3,
"description": "Formalizza Gamma mediante la parametrizzazione cartesiana corretta e ne riconosce il semipiano e gli estremi.",
"full_credit_evidence": [
"gamma(theta)=(rho cos theta,rho sin theta), 0<=theta<=pi, con estremi (3,0) e (-3,0) e y>=0."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Parametrizzazione e intervallo corretti con una sola proprietà geometrica omessa."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Parametrizzazione corretta ma intervallo o estremi incompleti."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce soltanto che si tratta di una curva polare nel semipiano superiore."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Formalizza una curva diversa o non fornisce elementi utilizzabili."
],
"accepted_equivalences": [
"Notazioni equivalenti per la parametrizzazione."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Descrizione geometrica inequivoca equivalente alla parametrizzazione."
],
"propagated_error_policy": "Un errore di trascrizione di rho si penalizza qui una volta; i passaggi successivi coerenti sono valutati rispetto alla rho trascritta, salvo il risultato finale."
},
{
"criterion_id": "a_T1_02",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 3,
"description": "Identifica correttamente i due oggetti analitici richiesti: elemento di lunghezza e tangente nel parametro assegnato.",
"full_credit_evidence": [
"Distingue il calcolo della lunghezza su [0,pi] dalla determinazione di punto e direzione tangente in theta=pi/2."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Entrambi gli oggetti sono riconosciuti con una lieve imprecisione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "È formalizzato correttamente solo uno dei due oggetti."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Compare un riferimento pertinente ma non una formalizzazione operativa."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Risolve richieste differenti."
],
"accepted_equivalences": [
"Tangente descritta tramite pendenza o vettore direttore."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Qualunque formalizzazione matematica equivalente."
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare in questo criterio errori di calcolo valutati in T3."
},
{
"criterion_id": "a_T2_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 3,
"description": "Imposta la lunghezza con l'elemento d'arco polare sqrt(rho^2+(rho')^2) dtheta e limiti corretti.",
"full_credit_evidence": [
"L=integrale_0^pi sqrt(rho(theta)^2+rho'(theta)^2) dtheta."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Formula corretta con un difetto minore nei limiti o nella notazione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Strategia della lunghezza parametrica corretta ma formula incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Richiama la lunghezza parametrica senza impostare un integrale utilizzabile."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Usa una formula incompatibile, come l'integrale della sola rho."
],
"accepted_equivalences": [
"Integrale di ||gamma'(theta)|| su [0,pi]."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Calcolo da dx/dtheta e dy/dtheta."
],
"propagated_error_policy": "Un solo errore originario di formula non va contato di nuovo in ogni termine dell'integrando."
},
{
"criterion_id": "a_T2_02",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 3,
"description": "Imposta la tangente usando gamma(pi/2) e un vettore direttore gamma'(pi/2), oppure una procedura equivalente.",
"full_credit_evidence": [
"Calcola gamma' e usa la retta gamma(pi/2)+t gamma'(pi/2)."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Metodo corretto con una lieve omissione formale."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Individua punto o direzione, ma l'impostazione resta incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Tenta una derivazione della pendenza pertinente ma non conclusiva."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Usa il raggio vettore come tangente senza giustificazione o un metodo incompatibile."
],
"accepted_equivalences": [
"Uso del rapporto (dy/dtheta)/(dx/dtheta)."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Derivazione implicita di un'equazione locale equivalente, se corretta."
],
"propagated_error_policy": "Un errore locale nel vettore direttore si penalizza nel calcolo T3, non nuovamente nel metodo se la procedura è corretta."
},
{
"criterion_id": "a_T3_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 4,
"description": "Deriva rho e ottiene correttamente l'integrando esplicito della lunghezza.",
"full_credit_evidence": [
"rho'=-4 cos(2theta) e integrando sqrt((3-2 sin(2theta))^2+16 cos^2(2theta))."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Sviluppo corretto salvo un errore algebrico minore isolato."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Formula strutturalmente corretta ma derivata o coefficiente significativo errato."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo un passaggio di derivazione pertinente è corretto."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun calcolo utilizzabile dell'integrando."
],
"accepted_equivalences": [
"Forme algebriche equivalenti non espanse."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Calcolo diretto di ||gamma'|| con semplificazione equivalente."
],
"propagated_error_policy": "Penalizzare una sola volta l'errore originario nella derivata o nel coefficiente."
},
{
"criterion_id": "a_T3_02",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 4,
"description": "Calcola correttamente punto e vettore tangente per theta=pi/2 e ricava la retta.",
"full_credit_evidence": [
"gamma(pi/2)=(0,3), gamma'(pi/2)=(-3,4), quindi pendenza -4/3."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Punto e procedimento corretti con un solo errore locale di segno o aritmetica."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "È corretto uno tra punto e vettore e la derivazione è riconoscibile."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Calcola qualche componente pertinente senza ottenere una direzione valida."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Calcolo assente o non pertinente."
],
"accepted_equivalences": [
"Qualunque multiplo non nullo di (-3,4) come vettore direttore."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Calcolo diretto della pendenza."
],
"propagated_error_policy": "Se un errore nel vettore è poi usato coerentemente, penalizzare qui l'origine e in T4 il risultato, non ogni trasformazione della retta."
},
{
"criterion_id": "a_T4_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 2,
"description": "Fornisce uno schizzo di Gamma con orientamento e andamento qualitativo corretti.",
"full_credit_evidence": [
"Schizzo nel semipiano superiore, da (3,0) a (-3,0), più vicino all'origine a destra e rigonfio a sinistra."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Schizzo sostanzialmente corretto con un dettaglio geometrico minore inesatto."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Semipiano ed estremi corretti, ma andamento interno non fedele."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Rappresentazione molto incompleta ma con almeno un tratto corretto."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Disegno assente o incompatibile con la curva."
],
"accepted_equivalences": [
"Descrizione verbale dettagliata accompagnata da punti notevoli, se rende il disegno inequivoco."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Tabella o diagramma polare equivalente."
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare difetti geometrici già derivanti da un unico errore di rho."
},
{
"criterion_id": "a_T4_02",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 2,
"description": "Presenta l'integrale finale corretto che calcola la lunghezza.",
"full_credit_evidence": [
"Integrale da 0 a pi di sqrt((3-2 sin(2theta))^2+16 cos^2(2theta))."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Risultato equivalente con difetto formale minore."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Integrale quasi corretto con un coefficiente o limite errato."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Risultato fortemente incompleto ma riconoscibile."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Integrale assente o incompatibile."
],
"accepted_equivalences": [
"Integrale di sqrt(rho^2+(rho')^2) con rho e rho' correttamente definite."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Integrale di ||gamma'|| equivalente."
],
"propagated_error_policy": "T4 registra l'effetto finale di un errore di T3 senza qualificarlo come nuovo errore causale."
},
{
"criterion_id": "a_T4_03",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 2,
"description": "Fornisce la retta tangente finale corretta.",
"full_credit_evidence": [
"y=-4x/3+3, oppure forma equivalente."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Retta corretta salvo un difetto di forma innocuo."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Passa per il punto corretto ma ha pendenza errata, o viceversa."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Retta solo parzialmente specificata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Retta assente o del tutto errata."
],
"accepted_equivalences": [
"(x,y)=(0,3)+t(-3,4); 4x+3y-9=0."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Ogni rappresentazione equivalente."
],
"propagated_error_policy": "Un risultato errato causato dal calcolo di T3 perde credito qui solo per l'esito finale."
},
{
"criterion_id": "a_T5_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 2,
"description": "Rispetta il dominio parametrico 0<=theta<=pi e la positività 1<=rho<=5 nella descrizione della curva.",
"full_credit_evidence": [
"Intervallo completo e raggio sempre positivo sono espliciti o inequivocabilmente rispettati."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Entrambe le condizioni sono rispettate, una resta implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo una condizione è corretta e osservabile."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Condizioni richiamate ma in modo sostanzialmente incompleto."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Dominio incompatibile o uso di raggi negativi inesistenti."
],
"accepted_equivalences": [
"Argomento equivalente basato su min rho=1 e max rho=5."
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non ripenalizzare qui un semplice errore aritmetico già contato in T3 se il dominio è concettualmente corretto."
},
{
"criterion_id": "a_T5_02",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 2,
"description": "Usa il parametro assegnato theta=pi/2 e verifica o rispetta la regolarità locale necessaria alla tangente.",
"full_credit_evidence": [
"La direzione gamma'(pi/2)=(-3,4) è non nulla e il parametro della retta varia in R."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Condizioni rispettate ma non tutte esplicitate."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Parametro corretto ma regolarità non controllata e procedimento ambiguo."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riferimento incompleto al punto parametrico."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Tangente calcolata in un parametro diverso o con direzione nulla."
],
"accepted_equivalences": [
"La non nullità è implicita in un vettore direttore corretto."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Pendenza finita correttamente calcolata come controllo di regolarità locale."
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare un errore di valutazione di gamma' già penalizzato in T3."
},
{
"criterion_id": "a_T6_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 3,
"description": "Mantiene coerenza tra valori radiali, punti notevoli, schizzo, integrando e tangente.",
"full_credit_evidence": [
"I punti per theta=0,pi/4,pi/2,3pi/4,pi e la geometria risultante sono compatibili; l'integrando è non negativo e la tangente passa per (0,3)."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Coerenza complessiva con una lieve incongruenza locale."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Controlli solo impliciti ma risultati plausibili."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Sono presenti incompatibilità significative non riconosciute."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Risultati manifestamente incompatibili tra loro e non riconosciuti."
],
"accepted_equivalences": [
"Qualunque insieme sufficiente di punti di controllo equivalenti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Controllo grafico o simbolico equivalente."
],
"propagated_error_policy": "Una catena coerente derivata da un singolo errore non genera più errori atomici; valutare qui la coerenza residua."
},
{
"criterion_id": "a_T7_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 2,
"description": "Usa correttamente le definizioni/formule di lunghezza di una curva regolare e di retta tangente a una parametrizzazione.",
"full_credit_evidence": [
"Applica ||gamma'|| per la lunghezza e span(gamma') per la tangente nelle rispettive condizioni."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso corretto con una condizione secondaria implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una delle due nozioni è usata rigorosamente, l'altra è incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Richiamo pertinente ma applicazione debole."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Definizioni centrali false o inapplicabili."
],
"accepted_equivalences": [
"Formula polare dell'elemento d'arco derivata dalla parametrizzazione."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Nozioni equivalenti di derivata vettoriale e pendenza."
],
"propagated_error_policy": "Non penalizzare qui errori puramente algebrici."
},
{
"criterion_id": "b_T1_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 4,
"description": "Identifica A come la regione radiale compresa fra l'origine/asse x e Gamma.",
"full_credit_evidence": [
"A={(r cos theta,r sin theta):0<=theta<=pi,0<=r<=rho(theta)} e il bordo rettilineo è [-3,3]x{0}."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Regione corretta con una lieve omissione sul bordo."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Idea della regione corretta ma limiti radiali o angolari incompleti."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce solo genericamente la zona sotto la curva."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Integra su una regione differente."
],
"accepted_equivalences": [
"Descrizione cartesiana o grafica inequivoca equivalente."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Decomposizione della regione in sottoregioni equivalenti."
],
"propagated_error_policy": "Un errore nella regione è causale; i calcoli successivi coerenti non vanno ripenalizzati a ogni passaggio."
},
{
"criterion_id": "b_T2_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 4,
"description": "Imposta correttamente l'area mediante la formula polare o un integrale doppio equivalente.",
"full_credit_evidence": [
"Area=(1/2)integrale_0^pi rho(theta)^2 dtheta oppure integrale_0^pi integrale_0^rho r dr dtheta."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Impostazione corretta con un difetto minore di notazione o limite."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Metodo polare corretto ma manca il Jacobiano r o il fattore 1/2 nel passaggio finale."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Tentativo pertinente ma integrale non utilizzabile."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodo incompatibile con l'area richiesta."
],
"accepted_equivalences": [
"Integrali equivalenti dopo sostituzioni o decomposizioni."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Integrazione cartesiana correttamente impostata."
],
"propagated_error_policy": "Un Jacobiano o fattore errato è un solo errore originario."
},
{
"criterion_id": "b_T3_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 5,
"description": "Sviluppa e integra correttamente rho^2 su [0,pi].",
"full_credit_evidence": [
"rho^2=9-12 sin(2theta)+4 sin^2(2theta), con integrali rispettivi 9pi, 0 e 2pi prima del fattore 1/2."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Sviluppo corretto salvo un errore locale minore."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Struttura corretta ma un termine significativo è integrato male."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo parte dell'espansione o dell'integrazione è corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Calcolo assente o non utilizzabile."
],
"accepted_equivalences": [
"Uso di sin^2 u=(1-cos 2u)/2 o di simmetrie/medie periodiche."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Calcolo simbolico equivalente ben mostrato."
],
"propagated_error_policy": "Un errore di espansione propagato si conta una volta; valutare coerentemente l'integrazione successiva."
},
{
"criterion_id": "b_T4_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 3,
"description": "Fornisce il valore finale esatto dell'area.",
"full_credit_evidence": [
"Area(A)=11pi/2."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Valore equivalente con difetto formale o approssimazione accurata supportata dal calcolo esatto."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Valore errato per un singolo errore locale ma con struttura plausibile."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Risultato fortemente incompleto ma riconoscibile come area."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Valore assente, negativo o incompatibile con la regione."
],
"accepted_equivalences": [
"5.5pi o equivalente esatto."
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Riflette l'esito finale senza creare un nuovo errore causale rispetto a T3."
},
{
"criterion_id": "b_T5_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 1,
"description": "Usa correttamente limiti angolari, limiti radiali e inclusione dei bordi nella regione A.",
"full_credit_evidence": [
"0<=theta<=pi e 0<=r<=rho(theta), bordi inclusi."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Condizioni corrette ma una resta implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo i limiti principali sono corretti."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Condizioni parzialmente riconoscibili."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Limiti incompatibili con A."
],
"accepted_equivalences": [
"La differenza tra bordi inclusi o esclusi non cambia l'area, ma deve essere rispettata nella descrizione dell'insieme."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Limiti cartesiani equivalenti."
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare errori di dominio già registrati in b_T1_01."
},
{
"criterion_id": "b_T6_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Mantiene non negatività e plausibilità geometrica dell'area e coerenza con 1<=rho<=5.",
"full_credit_evidence": [
"Il risultato è positivo e compatibile con l'integrando rho^2/2 e con l'estensione della regione."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Risultato coerente con controllo solo implicito."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Risultato plausibile ma senza alcun controllo osservabile."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Risultato sospetto e non discusso."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Area negativa o manifestamente impossibile non riconosciuta."
],
"accepted_equivalences": [
"Stime o confronti geometrici equivalenti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Controllo numerico o grafico pertinente."
],
"propagated_error_policy": "Valutare la plausibilità rispetto agli intermedi del candidato quando un errore locale è stato propagato."
},
{
"criterion_id": "b_T7_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 1,
"description": "Applica correttamente la formula dell'area polare positiva o il cambio di coordinate polari con Jacobiano.",
"full_credit_evidence": [
"Il fattore 1/2 deriva dall'integrazione di r, oppure il Jacobiano r è correttamente presente."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso corretto con giustificazione lasciata implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Formula pertinente ma applicazione incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Richiamo debole alla formula corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Formula o teorema usato in modo falso."
],
"accepted_equivalences": [
"Derivazione diretta per settori infinitesimi."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Teorema del cambio di variabili applicato correttamente."
],
"propagated_error_policy": "Non penalizzare qui errori algebrici appartenenti a T3."
},
{
"criterion_id": "c_T1_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 5,
"description": "Riconosce che gli estremi assoluti vanno cercati nell'interno e sull'intero bordo di A, inclusi segmento e vertici.",
"full_credit_evidence": [
"Distingue interno, arco Gamma, segmento [-3,3]x{0} e punti di raccordo."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Copertura sostanziale con una componente menzionata solo implicitamente."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Considera correttamente solo il bordo curvo e una parte dei restanti casi."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce la necessità di cercare candidati ma ne omette la maggior parte."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Ottimizza su un insieme differente o ignora il vincolo A."
],
"accepted_equivalences": [
"Un unico argomento globale rigoroso che copra automaticamente tutte le componenti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Rette di livello o ottimizzazione polare globale."
],
"propagated_error_policy": "L'omissione di una componente è un solo errore di copertura, anche se elimina più candidati conseguenti."
},
{
"criterion_id": "c_T1_02",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 5,
"description": "Formalizza correttamente f nell'interno e sulle componenti del bordo.",
"full_credit_evidence": [
"grad f=(1,-1), F(theta)=rho(theta)(cos theta-sin theta), e sul segmento f(x,0)=x."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Le tre formalizzazioni sono sostanzialmente corrette con una lieve omissione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Due componenti sono formalizzate correttamente."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Una sola restrizione pertinente è corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Funzione obiettivo o restrizioni formalizzate in modo incompatibile."
],
"accepted_equivalences": [
"Forme trigonometriche o cartesiane equivalenti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Formalizzazione tramite moltiplicatori di Lagrange o rette di livello."
],
"propagated_error_policy": "Un errore nella restrizione F si conta qui o nel calcolo originario, non in ogni derivata successiva."
},
{
"criterion_id": "c_T2_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 5,
"description": "Sceglie una strategia completa: esistenza via compattezza/continuità e ricerca esaustiva dei candidati con confronto dei valori.",
"full_credit_evidence": [
"Invoca Weierstrass correttamente e combina analisi dell'interno, ottimizzazione delle due componenti di bordo e confronto finale."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Strategia corretta con una componente secondaria poco esplicitata."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Metodo promettente ma manca una parte significativa della ricerca o dell'esistenza."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Usa uno strumento pertinente senza una procedura completa."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodo incompatibile o sola congettura dei valori."
],
"accepted_equivalences": [
"Qualunque strategia esaustiva matematicamente valida."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Lagrange; coordinate polari; geometria delle rette di livello."
],
"propagated_error_policy": "Errori locali di calcolo non riducono il credito di metodo se l'impostazione resta valida."
},
{
"criterion_id": "c_T3_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 4,
"description": "Deriva correttamente F sul bordo curvo, ne fattorizza il segno e trova theta=3pi/4 come unico stazionario interno.",
"full_credit_evidence": [
"F'=-(cos theta+sin theta)(4(cos theta-sin theta)^2+3-2 sin(2theta)); il secondo fattore è >=1 e quindi l'unico zero interno è 3pi/4."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Derivazione sostanzialmente corretta con un errore locale minore che non cambia il candidato."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "F' è impostata correttamente ma fattorizzazione o unicità sono incomplete."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo una parte pertinente della derivazione è corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun calcolo utilizzabile sul bordo curvo."
],
"accepted_equivalences": [
"Qualunque forma equivalente di F' e qualunque argomento corretto per individuarne gli zeri."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Equazioni di Lagrange correttamente risolte; monotonia geometrica equivalente."
],
"propagated_error_policy": "Un singolo errore di derivazione propagato si penalizza una volta; i passaggi successivi coerenti sono valutati condizionatamente."
},
{
"criterion_id": "c_T3_02",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 3,
"description": "Calcola e confronta correttamente i valori nei candidati del bordo.",
"full_credit_evidence": [
"R=(-5sqrt(2)/2,5sqrt(2)/2), f(R)=-5sqrt(2), f(-3,0)=-3, f(3,0)=3."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Confronto corretto salvo un errore aritmetico minore."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Candidati corretti ma almeno un valore o confronto significativo è errato."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo un valore candidato è calcolato correttamente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun confronto utilizzabile."
],
"accepted_equivalences": [
"Valori e coordinate in forme radicali equivalenti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Confronto tramite ordinamento rigoroso senza approssimazioni decimali."
],
"propagated_error_policy": "Se R è errato per un errore precedente, valutare coerentemente il calcolo di f(R) e non contare nuove conseguenze meccaniche."
},
{
"criterion_id": "c_T4_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 6,
"description": "Dichiara entrambi gli estremi assoluti con valori e punti di assunzione corretti e risponde all'esistenza.",
"full_credit_evidence": [
"max_A f=3 in (3,0); min_A f=-5sqrt(2) in (-5sqrt(2)/2,5sqrt(2)/2); gli estremi esistono per Weierstrass."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Entrambi i valori corretti con un punto o la motivazione d'esistenza incompleti."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Uno dei due estremi è completo e corretto, oppure entrambi i valori sono dati senza punti/motivazione adeguata."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo una parte sostanziale del risultato finale è corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Estremi assenti o entrambi incompatibili."
],
"accepted_equivalences": [
"-5sqrt(2)=-10/sqrt(2); coordinate equivalenti di R."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Qualunque forma inequivoca equivalente."
],
"propagated_error_policy": "T4 registra l'impatto finale di errori causali già localizzati senza crearne di nuovi."
},
{
"criterion_id": "c_T5_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 3,
"description": "Giustifica correttamente che A è compatto e che f è continua su A.",
"full_credit_evidence": [
"A è chiuso e limitato in R^2, oppure immagine continua appropriata di un compatto; f è lineare quindi continua."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Compattezza e continuità corrette, con una giustificazione secondaria implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Afferma entrambe ma ne giustifica adeguatamente solo una."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Menziona una sola condizione pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Ipotesi di esistenza assenti o false."
],
"accepted_equivalences": [
"A è immagine di [0,pi]x[0,1] tramite (theta,s)->s rho(theta)(cos theta,sin theta), dunque compatto."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Qualunque dimostrazione corretta della compattezza."
],
"propagated_error_policy": "Non contare separatamente chiusura e limitatezza mancanti se derivano dalla stessa descrizione errata di A."
},
{
"criterion_id": "c_T5_02",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 2,
"description": "Rispetta tutti i vincoli e gli intervalli nella ricerca: theta in [0,pi], x in [-3,3] sul segmento e candidati appartenenti ad A.",
"full_credit_evidence": [
"Gli zeri e gli estremi sono filtrati sui domini corretti e i punti finali appartengono al bordo di A."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Vincoli rispettati con una sola omissione formale."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Domini principali corretti ma un endpoint o candidato non è trattato."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo una parte dei vincoli è rispettata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Candidati fuori dominio o componenti di bordo essenziali escluse."
],
"accepted_equivalences": [
"Trattamento globale che incorpora automaticamente gli endpoint."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Coordinate o parametrizzazioni diverse con domini equivalenti."
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare qui la semplice omissione di una componente già penalizzata in c_T1_01; valutare il rispetto dei vincoli nei casi effettivamente trattati."
},
{
"criterion_id": "c_T6_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 3,
"description": "Controlla appartenenza dei candidati e coerenza dell'ordinamento dei valori finali.",
"full_credit_evidence": [
"R corrisponde a theta=3pi/4 e rho=5; -5sqrt(2)<-3<3, quindi classificazione coerente."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Coerenza completa con controllo prevalentemente implicito."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Risultati plausibili ma controllo incompleto."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Incompatibilità significativa non riconosciuta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Punti non appartenenti ad A o ordinamento manifestamente impossibile non riconosciuto."
],
"accepted_equivalences": [
"Controlli geometrici o numerici equivalenti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Confronto tramite rette di livello."
],
"propagated_error_policy": "In presenza di errore propagato, valutare la coerenza con gli intermedi senza trasformare ogni conseguenza in errore autonomo."
},
{
"criterion_id": "c_T7_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 3,
"description": "Applica correttamente il teorema di Weierstrass alle ipotesi verificate.",
"full_credit_evidence": [
"Da A compatto non vuoto e f continua conclude esistenza di massimo e minimo assoluti."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Teorema applicato correttamente con una condizione lasciata implicita ma rispettata."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Conclusione corretta ma una ipotesi importante è solo asserita."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Cita un principio pertinente senza verificarne adeguatamente le ipotesi."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Teorema falso, inventato o applicato a ipotesi manifestamente non soddisfatte."
],
"accepted_equivalences": [
"Teorema degli estremi per funzioni continue su compatti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Dimostrazione diretta dell'esistenza equivalente."
],
"propagated_error_policy": "La stessa omissione di compattezza non va contata come due errori distinti in T5 e T7; T5 valuta la condizione, T7 la validità dell'inferenza."
},
{
"criterion_id": "c_T7_02",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 1,
"description": "Usa correttamente le condizioni necessarie di stazionarietà nelle parti regolari senza scambiarle per sufficienza.",
"full_credit_evidence": [
"Esclude punti critici interni tramite grad f non nullo, trova candidati sul bordo e li classifica solo dopo confronto globale."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso sostanzialmente corretto con una precisazione implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Condizioni necessarie pertinenti ma distinzione dalla sufficienza poco chiara."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Richiamo solo parzialmente valido."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Dichiara automaticamente ogni punto stazionario estremo assoluto senza confronto o usa una condizione falsa."
],
"accepted_equivalences": [
"Argomento di monotonia globale che evita esplicitamente la terminologia di stazionarietà."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Lagrange correttamente inteso come generatore di candidati."
],
"propagated_error_policy": "Non penalizzare qui errori di derivazione appartenenti a T3."
}
],
"dimension_applicability": {
"T1": "applicable",
"T2": "applicable",
"T3": "applicable",
"T4": "applicable",
"T5": "applicable",
"T6": "applicable",
"T7": "applicable",
"T8": "not_applicable"
},
"dimension_point_budget": {
"T1": 20,
"T2": 15,
"T3": 20,
"T4": 15,
"T5": 10,
"T6": 8,
"T7": 7,
"T8": 0
},
"applicable_max_score": 95,
"normalization_rule": "Poiché T8 è not_applicable, il punteggio grezzo massimo è 95 e va normalizzato a 100 mediante 100*raw_score/95 prima di eventuali penalità e cap.",
"not_applicable_dimensions": [
{
"dimension": "T8",
"reason": "Il testo non richiede una verifica autonoma e tutti i controlli necessari sono già parte integrante dei criteri di sviluppo, dominio, coerenza e uso dei teoremi; non è dovuto un secondo metodo ridondante."
}
],
"sign_or_orientation_convention": "La parametrizzazione segue theta crescente da (3,0) a (-3,0) nel semipiano superiore; l'orientazione non incide su lunghezza o area. Per la tangente sono equivalenti tutti i multipli non nulli del vettore (-3,4).",
"numerical_tolerance": null,
"pertinent_checks": [
"Verificare 1<=rho<=5 e i punti notevoli usati nello schizzo.",
"Verificare che gamma'(pi/2)=(-3,4) sia non nullo e che la retta passi per (0,3).",
"Controllare che l'area sia positiva e coerente con l'integrando rho^2/2.",
"Controllare che il secondo fattore di F' sia >=1, che R appartenga a Gamma e che -5sqrt(2)<-3<3."
],
"known_error_severity": [
{
"error": "Schizzo qualitativamente scorretto ma calcoli analitici corretti",
"severity": "moderate"
},
{
"error": "Formula della lunghezza priva del termine (rho')^2",
"severity": "major"
},
{
"error": "Tangente calcolata usando il solo raggio vettore",
"severity": "major"
},
{
"error": "Area calcolata senza Jacobiano/fattore 1/2",
"severity": "major"
},
{
"error": "Omissione del segmento sull'asse x o degli endpoint nella ricerca degli estremi",
"severity": "major"
},
{
"error": "Esistenza degli estremi asserita senza compattezza di A e continuità di f",
"severity": "moderate"
},
{
"error": "Punto stazionario del bordo scambiato per estremo assoluto senza confronto globale",
"severity": "major"
}
],
"rubric_specific_caps": [],
"human_approval": {
"approved": true,
"reviewer": "benchmark_owner_via_codex_task",
"date": "2026-07-17"
}
}