Complete frozen rubricOriginal Italian record · exact JSON · SHA-256 d05569d19380…+
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"rubric_version": "1.0",
"judge_spec_version": "2.0",
"item_id": "analisi3_2025_primoapp_esercizio_2",
"syllabus_macroarea": "Integrazione multipla e calcolo vettoriale",
"topic": "Baricentro e volume; teoremi di Gauss e Kelvin-Stokes",
"syllabus_type_abc": "not_available",
"task_type": "mixed",
"created_without_model_answers": true,
"frozen": true,
"reference_status": "verified",
"reference_notes": "Risultati e calcoli verificati indipendentemente. Nel punto (d) la soluzione usa una volta la notazione ∮_{∂D} F·dx, ma la curva percorsa è il bordo orientato di S; è un refuso notazionale innocuo e non altera il calcolo.",
"subproblems": [
{
"id": "a",
"weight": 0.2,
"request": "Calcolare il baricentro della componente C di ∂E contenuta nel piano (x,z).",
"essential_steps": [
"Identificare C come regione piana compresa tra z=x^2 e z=1-x^2 per 0≤x≤1/√2",
"Calcolare area e momenti primi"
],
"expected_results": [
"C={(x,z):0≤x≤1/√2, x^2≤z≤1-x^2}",
"Area(C)=√2/3",
"x_G=3√2/16",
"z_G=1/2"
],
"required_conditions": [
"Densità superficiale uniforme implicita",
"Usare l'elemento di area piano dx dz"
],
"accepted_equivalences": [
"1/√2=√2/2",
"x_G=3/(8√2)"
],
"accepted_alternative_methods": [
"Simmetria rispetto a z=1/2 per z_G",
"Calcolo diretto di entrambi i momenti"
]
},
{
"id": "b",
"weight": 0.25,
"request": "Calcolare il volume di E.",
"essential_steps": [
"Proiettare su D={(x,y):x,y≥0,2x^2+y^2≤1}",
"Integrare l'altezza 1-2x^2-y^2",
"Eseguire correttamente un cambio di variabili o un'integrazione iterata"
],
"expected_results": [
"Vol(E)=π√2/16"
],
"required_conditions": [
"0≤s≤1 e 0≤α≤π/2 nel cambio ellittico",
"Jacobiano assoluto s/√2"
],
"accepted_equivalences": [
"π/(8√2)"
],
"accepted_alternative_methods": [
"Fili verticali sulla proiezione D",
"Fette a y costante",
"Fili rispetto alla proiezione C nel piano (x,z)"
]
},
{
"id": "c",
"weight": 0.3,
"request": "Verificare il teorema di Gauss per E e F=(y,-x,0).",
"essential_steps": [
"Calcolare div F=0 e quindi l'integrale di volume nullo",
"Orientare verso l'esterno le quattro componenti P,S,C,L",
"Calcolare e sommare i quattro flussi"
],
"expected_results": [
"Φ_P=0",
"Φ_S=1/8",
"Φ_C=1/8",
"Φ_L=-1/4",
"∫_{∂E}F·n dS=0=∫_E div F dV"
],
"required_conditions": [
"Normali uscenti",
"Campo C^1 e dominio regolare a tratti; spigoli di misura superficiale nulla"
],
"accepted_equivalences": [
"Calcolo diretto del flusso totale senza nominare separatamente componenti a contributo nullo, purché completo e verificabile"
],
"accepted_alternative_methods": [
"Applicare direttamente Gauss e controllare indipendentemente il flusso al bordo",
"Parametrizzazioni diverse ma coerentemente orientate"
]
},
{
"id": "d",
"weight": 0.25,
"request": "Verificare Kelvin-Stokes per F sulla componente S di ∂E data da z=1-x^2.",
"essential_steps": [
"Usare su S la normale uscente verso l'alto e l'orientazione positiva indotta sul bordo",
"Calcolare curl F=(0,0,-2) e il suo flusso",
"Calcolare la circuitazione lungo tutti i tratti di ∂S e confrontare"
],
"expected_results": [
"∫_S curl F·n dS=-π√2/4",
"∮_{∂S}F·dr=-π√2/4"
],
"required_conditions": [
"S parametrizzata sul quarto di ellisse D",
"Bordo antiorario visto dal lato della normale uscente superiore"
],
"accepted_equivalences": [
"Con orientazione opposta sono accettati entrambi i membri uguali a +π√2/4, se la convenzione è dichiarata e coerente"
],
"accepted_alternative_methods": [
"Parametrizzazione a tratti diversa del bordo",
"Calcolo della circuitazione tramite la forma y dx-x dy"
]
}
],
"atomic_criteria": [
{
"criterion_id": "a_T1_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 4,
"description": "Formalizza correttamente la componente piana C e la nozione di baricentro uniforme.",
"full_credit_evidence": [
"C={(x,z):0≤x≤1/√2, x^2≤z≤1-x^2} e coordinate ottenute da momenti primi divisi per l'area"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "C corretta con una precisazione formale minore omessa"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Riconosce le due parabole ma sbaglia un estremo o non formalizza un momento"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Individua solo genericamente la sezione y=0"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Usa una componente diversa o un oggetto monodimensionale"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un estremo errato si penalizza qui come origine; i momenti successivi vanno valutati coerentemente con il dominio assunto."
},
{
"criterion_id": "a_T2_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 2,
"description": "Imposta area e momenti primi adatti al baricentro.",
"full_credit_evidence": [
"A=∫(1-2x^2)dx, M_z=∫x(1-2x^2)dx e calcolo o simmetria per M_x"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Impostazione corretta ma un momento resta implicito"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Area corretta e idea dei momenti incompleta"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Formula del baricentro pertinente senza integrali corretti"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodo non pertinente"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Calcolo diretto o simmetria per z_G"
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare errori di dominio già registrati in T1."
},
{
"criterion_id": "a_T3_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 5,
"description": "Esegue correttamente i calcoli di area e momenti.",
"full_credit_evidence": [
"A=√2/3",
"∫_C x dx dz=1/8",
"z_G=1/2 per simmetria o calcolo equivalente"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Un solo errore algebrico minore"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Almeno area e un momento sviluppati correttamente"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un calcolo intermedio sostanziale corretto"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun calcolo utilizzabile"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Penalizzare una sola volta l'errore locale e riconoscere lo sviluppo coerente successivo."
},
{
"criterion_id": "a_T4_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 3,
"description": "Fornisce entrambe le coordinate corrette del baricentro.",
"full_credit_evidence": [
"G=(3√2/16,1/2) nel piano (x,z)"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Entrambe corrette con difetto notazionale minore"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una sola coordinata corretta"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Risultato incompleto ma vicino a una coordinata corretta"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Baricentro assente o entrambe le coordinate errate"
],
"accepted_equivalences": [
"x_G=3/(8√2)"
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 riflette l'esito, senza registrare una nuova causa per errori già conteggiati."
},
{
"criterion_id": "a_T5_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 2,
"description": "Rispetta limiti, variabili e misura bidimensionale della regione C.",
"full_credit_evidence": [
"0≤x≤1/√2, x^2≤z≤1-x^2 e dx dz"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Condizioni corrette ma in parte implicite"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una condizione significativa omessa"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Dominio solo parzialmente corretto"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Dominio incompatibile con C"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non duplicare lo stesso errore di estremo."
},
{
"criterion_id": "a_T6_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Mantiene il baricentro dentro C e sfrutta coerentemente la simmetria z↔1-z.",
"full_credit_evidence": [
"z_G=1/2 e 0<x_G<1/√2, coerenti con geometria e simmetria"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Coerenza sostanziale con controllo implicito"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Risultato plausibile ma senza controllo"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Controllo incompleto su un risultato sospetto"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Risultato manifestamente esterno a C non riconosciuto"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Valutare la coerenza rispetto ai valori intermedi dichiarati."
},
{
"criterion_id": "a_T7_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 2,
"description": "Usa correttamente definizione di baricentro e argomento di simmetria.",
"full_credit_evidence": [
"Coordinate come momenti normalizzati; simmetria applicata alla regione e alla densità uniforme"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso corretto con una giustificazione lasciata implicita"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Definizione sostanzialmente corretta ma incompleta"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Richiamo pertinente ma non applicato rigorosamente"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Definizione o simmetria applicata in modo falso"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Nessun uso della simmetria se entrambi i momenti sono calcolati direttamente"
],
"propagated_error_policy": "Separare rigore definitorio da errori aritmetici."
},
{
"criterion_id": "b_T1_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 4,
"description": "Riconosce la proiezione ellittica e l'altezza del solido.",
"full_credit_evidence": [
"D={x,y≥0:2x^2+y^2≤1} e altezza 1-2x^2-y^2"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Formalizzazione corretta con una omissione minore"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo dominio o altezza corretti"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce genericamente un quarto di ellisse"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Proiezione e altezza entrambe incompatibili"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Descrizioni equivalenti tramite fette y o proiezione C"
],
"propagated_error_policy": "Valutare i calcoli successivi rispetto alla formalizzazione assunta."
},
{
"criterion_id": "b_T2_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 4,
"description": "Imposta un integrale triplo/doppio corretto e una procedura sufficiente per valutarlo.",
"full_credit_evidence": [
"∫_D(1-2x^2-y^2)dxdy con cambio ellittico o integrale iterato corretto"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Metodo corretto con dettaglio minore mancante"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Integrale corretto ma procedura di valutazione incompleta"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Strategia pertinente ma integrale significativamente incompleto"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodo incompatibile con il volume"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Fili verticali, y-fette, (x,z)-fili o integrazione tripla diretta"
],
"propagated_error_policy": "Un errore originario nel dominio non va nuovamente penalizzato come scelta metodologica."
},
{
"criterion_id": "b_T3_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 7,
"description": "Esegue correttamente cambio di variabili, Jacobiano e integrazioni.",
"full_credit_evidence": [
"Con x=s cosα/√2,y=s sinα ottiene |J|=s/√2 e integra (1-s^2)s/√2"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Sviluppo quasi completo con errore locale minore"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Cambio e Jacobiano corretti ma integrazione finale errata/incompleta"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Almeno un passaggio sostanziale corretto"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessuno sviluppo utilizzabile"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Calcoli equivalenti con fette e sostituzioni trigonometriche"
],
"propagated_error_policy": "Un Jacobiano errato è un unico errore originario; riconoscere l'integrazione successiva coerente."
},
{
"criterion_id": "b_T4_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 4,
"description": "Conclude con il volume esatto corretto.",
"full_credit_evidence": [
"Vol(E)=π√2/16"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Valore equivalente con difetto formale minore"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Risultato errato per un solo fattore locale"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Risultato incompleto ma strutturalmente vicino"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Volume assente o incompatibile"
],
"accepted_equivalences": [
"π/(8√2)"
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Riflettere l'effetto finale senza duplicare la causa."
},
{
"criterion_id": "b_T5_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 3,
"description": "Specifica e rispetta domini e limiti del cambio o degli integrali iterati.",
"full_credit_evidence": [
"0≤s≤1,0≤α≤π/2 oppure estremi iterati equivalenti completi"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Limiti corretti ma in parte impliciti"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una restrizione significativa mancante"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo parte del dominio corretta"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Limiti incompatibili con E"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non duplicare errori del dominio di proiezione già conteggiati."
},
{
"criterion_id": "b_T6_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Mantiene non negatività e scala plausibile del volume.",
"full_credit_evidence": [
"Integrando non negativo su D e volume positivo coerente con un solido limitato"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Coerenza corretta ma implicita"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Risultato plausibile senza controllo"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Controllo debole su esito sospetto"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Volume negativo o impossibile non riconosciuto"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Controllare la plausibilità anche in presenza di errore locale propagato."
},
{
"criterion_id": "b_T7_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 1,
"description": "Applica correttamente il cambio di variabili o il principio di Cavalieri/Fubini nel caso scelto.",
"full_credit_evidence": [
"Trasformazione, Jacobiano assoluto e integrale sono coerenti, oppure uso corretto di integrali iterati"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Applicazione corretta con giustificazione secondaria implicita"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Uso sostanzialmente corretto ma incompleto"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Teorema pertinente solo abbozzato"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Cambio di variabili o scambio di integrali inapplicabile"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Separare l'uso del teorema dai calcoli."
},
{
"criterion_id": "c_T1_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 6,
"description": "Identifica correttamente i due membri di Gauss e tutte le componenti di ∂E.",
"full_credit_evidence": [
"∂E=P∪S∪C∪L (a meno degli spigoli) e confronto flusso uscente/integrale della divergenza"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Struttura corretta con una componente a flusso nullo non esplicitata"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Teorema compreso ma decomposizione del bordo incompleta"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce solo genericamente divergenza e flusso"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Verifica un'identità diversa o ignora la maggior parte del bordo"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Una componente omessa è una singola omissione originaria."
},
{
"criterion_id": "c_T2_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 5,
"description": "Imposta correttamente divergenza, normali uscenti e integrali di flusso.",
"full_credit_evidence": [
"div F=0; elementi normali coerenti per P,S,C,L"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Impostazione completa salvo un dettaglio locale"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Divergenza e almeno due flussi impostati correttamente"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo uno dei due lati impostato correttamente"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Impostazione incompatibile con Gauss"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Parametrizzazioni diverse delle superfici"
],
"propagated_error_policy": "Un segno iniziale della normale propagato resta un unico errore di impostazione."
},
{
"criterion_id": "c_T3_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 5,
"description": "Calcola correttamente i contributi di flusso e la divergenza.",
"full_credit_evidence": [
"Φ_P=0,Φ_S=1/8,Φ_C=1/8,Φ_L=-1/4 e div F=0"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Tre contributi corretti e un errore locale"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Almeno due contributi sostanziali corretti"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un contributo non banale corretto"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun calcolo di flusso utilizzabile"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non moltiplicare le penalità per un unico segno di orientazione errato."
},
{
"criterion_id": "c_T4_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 4,
"description": "Conclude esplicitamente l'uguaglianza richiesta da Gauss.",
"full_credit_evidence": [
"∫_{∂E}F·n dS=0=∫_E div F dV"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uguaglianza corretta ma un lato è lasciato implicito"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo uno dei due membri corretto o confronto incompleto"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Conclusione solo qualitativa e poco sostenuta"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessuna verifica conclusiva o uguaglianza falsa"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 misura l'esito, non una nuova causa."
},
{
"criterion_id": "c_T5_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 3,
"description": "Gestisce correttamente dominio, bordo a tratti e orientazione uscente.",
"full_credit_evidence": [
"D quarto di ellisse; normali uscenti su tutte le componenti; applicabilità di Gauss rispettata"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Condizioni rispettate con una giustificazione implicita"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una orientazione/componente significativa trattata male"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Condizioni solo parzialmente riconosciute"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Orientazioni globalmente incompatibili o dominio errato"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Penalizzare l'orientazione errata all'origine una sola volta."
},
{
"criterion_id": "c_T6_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Controlla la cancellazione strutturale dei flussi coerente con div F=0.",
"full_credit_evidence": [
"0+1/8+1/8-1/4=0"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Cancellazione corretta ma controllo implicito"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Somma plausibile con controllo incompleto"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Nota l'attesa di flusso nullo senza verificarla"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Accetta una somma non nulla come coerente con divergenza nulla"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Valutare se l'incompatibilità prodotta da un errore locale viene riconosciuta."
},
{
"criterion_id": "c_T7_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 2.5,
"description": "Usa correttamente il teorema della divergenza e il concetto di flusso orientato.",
"full_credit_evidence": [
"Campo regolare, bordo regolare a tratti e normale uscente conducono all'identità corretta"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso corretto con ipotesi standard implicite"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Teorema pertinente ma una condizione importante è confusa"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Citazione pertinente senza applicazione rigorosa"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Teorema falso o applicato a oggetti incompatibili"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non penalizzare qui meri errori aritmetici."
},
{
"criterion_id": "c_T8_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T8",
"max_points": 2.5,
"description": "Esegue la verifica richiesta confrontando indipendentemente flusso totale e integrale della divergenza.",
"full_credit_evidence": [
"Entrambi i membri sono effettivamente calcolati e risultano uguali a zero"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Confronto corretto con un controllo secondario implicito"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Calcola entrambi i lati ma uno solo parzialmente"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Afferma il confronto dopo un controllo molto debole"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Non esegue la verifica o confronta quantità disuguali senza rilevarlo"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore locale non annulla il credito per un confronto coerentemente eseguito, ma non consente pieno credito."
},
{
"criterion_id": "d_T1_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 6,
"description": "Identifica S, il suo bordo completo e i due membri di Kelvin-Stokes.",
"full_credit_evidence": [
"S={(x,y,1-x^2):(x,y)∈D}; ∂S comprende i tratti y=0, l'arco ellittico e x=0"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Struttura corretta con un tratto a contributo nullo non esplicitato"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "S corretta ma bordo incompleto"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce solo genericamente superficie e circuitazione"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Usa una superficie diversa o omette l'arco essenziale"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Una omissione del bordo è conteggiata come singola causa."
},
{
"criterion_id": "d_T2_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 4,
"description": "Imposta rotore, integrale di superficie e circuitazione con orientazioni compatibili.",
"full_credit_evidence": [
"curl F=(0,0,-2), normale superiore e bordo antiorario visto dall'alto"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Impostazione corretta salvo dettaglio locale"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Uno dei due integrali impostato correttamente e l'altro incompleto"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Strategia pertinente ma orientazione o bordo gravemente incompleti"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Impostazione incompatibile con Stokes"
],
"accepted_equivalences": [
"Normale inferiore e bordo orario, entrambi coerenti"
],
"accepted_alternative_methods": [
"Forma differenziale y dx-x dy per la circuitazione"
],
"propagated_error_policy": "Un'inversione globale coerente dell'orientazione non è errore; un segno incoerente si penalizza una volta."
},
{
"criterion_id": "d_T3_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 3,
"description": "Calcola correttamente flusso del rotore e circuitazione a tratti.",
"full_credit_evidence": [
"-2 Area(D)=-π√2/4; contributi del bordo 0,-π√2/4,0"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Entrambi i calcoli quasi corretti con errore locale minore"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Uno dei due membri calcolato correttamente"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un passaggio non banale corretto"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun calcolo utilizzabile"
],
"accepted_equivalences": [
"Entrambi i valori opposti con orientazione globale opposta"
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Riconoscere i passaggi successivi coerenti con un singolo errore di segno originario."
},
{
"criterion_id": "d_T4_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 4,
"description": "Conclude esplicitamente l'uguaglianza di Kelvin-Stokes col valore corretto.",
"full_credit_evidence": [
"∮_{∂S}F·dr=∫_S curl F·n dS=-π√2/4 per l'orientazione uscente"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uguaglianza corretta con difetto notazionale minore"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Un valore corretto ma confronto incompleto"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Conclusione qualitativa scarsamente sostenuta"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Conclusione assente o membri dichiarati uguali pur essendo incompatibili"
],
"accepted_equivalences": [
"+π√2/4 su entrambi i lati con orientazione opposta coerente"
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 riflette l'esito senza duplicare la causa."
},
{
"criterion_id": "d_T5_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 2,
"description": "Specifica correttamente dominio parametrico, bordo e orientazione indotta.",
"full_credit_evidence": [
"D={x,y≥0:2x^2+y^2≤1}; normale uscente superiore e percorrenza antioraria"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Condizioni corrette ma in parte implicite"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una condizione significativa omessa"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Dominio o orientazione solo parzialmente corretti"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Dominio e orientazione incompatibili"
],
"accepted_equivalences": [
"Orientazione globale opposta dichiarata e coerente"
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non duplicare in altri criteri la stessa origine di orientazione."
},
{
"criterion_id": "d_T6_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Mantiene coerenza tra normale, verso del bordo e segni dei due integrali.",
"full_credit_evidence": [
"L'inversione dell'orientazione cambia simultaneamente il segno di entrambi i membri"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Coerenza sostanziale con controllo implicito"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Risultati plausibili senza controllo dei segni"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Rileva solo parzialmente un'incompatibilità"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Accetta segni discordi senza riconoscere orientazioni incompatibili"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Valutare la coerenza globale anche se un segno locale è errato."
},
{
"criterion_id": "d_T7_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 1.5,
"description": "Applica rigorosamente Kelvin-Stokes con bordo e orientazione indotta corretti.",
"full_credit_evidence": [
"Campo regolare, superficie regolare a tratti e orientazioni compatibili conducono all'identità"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso corretto con ipotesi standard implicite"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una condizione importante è confusa ma il nucleo resta valido"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Teorema pertinente solo citato"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Teorema falso o applicato a bordo/superficie non corrispondenti"
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Separare rigore teorematico dai calcoli."
},
{
"criterion_id": "d_T8_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T8",
"max_points": 2.5,
"description": "Esegue la verifica richiesta calcolando separatamente e confrontando i due membri di Stokes.",
"full_credit_evidence": [
"Flusso del rotore e circuitazione sono entrambi calcolati e coincidono"
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Confronto corretto con un dettaglio di controllo implicito"
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Entrambi i lati presenti ma uno parzialmente calcolato"
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Confronto affermato dopo controllo molto debole"
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Verifica assente o incompatibilità manifesta non rilevata"
],
"accepted_equivalences": [
"Orientazione globale opposta coerente"
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore locale consente credito per una verifica coerente ma non pieno credito."
}
],
"dimension_applicability": {
"T1": "applicable",
"T2": "applicable",
"T3": "applicable",
"T4": "applicable",
"T5": "applicable",
"T6": "applicable",
"T7": "applicable",
"T8": "applicable"
},
"dimension_point_budget": {
"T1": 20,
"T2": 15,
"T3": 20,
"T4": 15,
"T5": 10,
"T6": 8,
"T7": 7,
"T8": 5
},
"dimension_maxima_check": {
"T1": 20,
"T2": 15,
"T3": 20,
"T4": 15,
"T5": 10,
"T6": 8,
"T7": 7,
"T8": 5
},
"subproblem_point_budget": {
"a": 20,
"b": 25,
"c": 30,
"d": 25
},
"sign_or_orientation_convention": "Per Gauss tutte le normali sono uscenti. Per Stokes su S si assume la normale uscente verso l'alto, con bordo orientato antiorario visto dall'alto; è equivalente invertire coerentemente entrambe le orientazioni.",
"numerical_tolerance": null,
"pertinent_checks": [
"Somma dei flussi su P,S,C,L uguale all'integrale di div F",
"Confronto tra flusso di curl F su S e circuitazione su tutto ∂S",
"Coerenza simultanea dei segni sotto inversione di orientazione"
],
"not_applicable_dimensions": [],
"known_error_severity": [
{
"error": "Omettere una componente non nulla del bordo in Gauss",
"severity": "major"
},
{
"error": "Usare normali non uscenti in modo incoerente",
"severity": "major"
},
{
"error": "Omettere l'arco ellittico nella circuitazione di Stokes",
"severity": "fatal"
},
{
"error": "Invertire coerentemente normale e orientazione del bordo",
"severity": "not_an_error"
},
{
"error": "Errore aritmetico locale con impostazione corretta",
"severity": "minor_or_moderate_by_effect"
}
],
"rubric_specific_caps": [],
"human_approval": {
"approved": true,
"reviewer": "benchmark_owner_via_codex_task",
"date": "2026-07-17"
}
}