Complete frozen rubricOriginal Italian record · exact JSON · SHA-256 77fffde558e7…+
{
"rubric_version": "1.1-adjudication-2026-08-10",
"judge_spec_version": "2.0",
"item_id": "analisi3_2025_primoapp_esercizio_3",
"syllabus_macroarea": "Equazioni differenziali ordinarie",
"topic": "Forma normale, esistenza e unicita, simmetrie, equazioni lineari e dinamica a tratti",
"task_type": "mixed",
"created_without_model_answers": true,
"frozen": true,
"reference_status": "corrected_adjudication_current_authoritative",
"reference_notes": "Decisione umana 2026-08-10: per r dispari >=3 la soluzione e globale su I_k; per r pari >=2 la globalita non e garantita. Per 0<alpha<1 unicita e prolungabilita globale su I_k valgono anche per dati y(t0)=0. Si adotta |0|^0=1, dunque |y|^0=1 e y''+1=sec(t), globalmente ben posto su I_k. Per alpha=1, |y| e globalmente Lipschitz: il raccordo ai passaggi per y=0 e unico imponendo continuita di y e y', e la soluzione massimale copre I_k. Decisione: 2026-08-10_primoapp_esercizio_3_reference_correction_v1.",
"subproblems": [
{
"id": "a",
"weight": 0.27,
"request": "Classificare a priori esistenza, unicita e prolungabilita per r intero.",
"expected_results": [
"Nessuna soluzione attraversa t=pi/2+k*pi; su I_k l'equazione equivale al sistema y'=p, p'=sec(t)-y^r.",
"Per r<=-1 il dominio richiede y diverso da zero; per ogni dato ammissibile sono garantite esistenza e unicita locali e unicita della soluzione massimale.",
"Per r=0,1 esiste un'unica soluzione su tutto I_k per ogni dato ammissibile.",
"Per ogni r>=2 valgono esistenza e unicita locali; se r>=3 e dispari la soluzione e globale su tutto I_k, mentre per r pari >=2 la globalita non e garantita."
],
"required_conditions": [
"Dato iniziale al tempo t0, inclusi i valori necessari per il problema del secondo ordine.",
"t0 appartiene a un unico I_k.",
"Se r<0, y0 e diverso da zero."
],
"accepted_equivalences": [
"Intervalli tra due zeri consecutivi di cos(t) indicizzati in modo equivalente.",
"Formulazione scalare del secondo ordine o sistema del primo ordine."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Cauchy-Lipschitz mediante regolarita locale del campo.",
"Stima energetica/coerciva per la globalita quando r>=3 e dispari.",
"Confronto o criterio di prolungamento per distinguere il caso r pari."
]
},
{
"id": "b",
"weight": 0.2,
"request": "Studiare le trasformazioni per riflessione temporale e le conseguenze di parita/disparita.",
"expected_results": [
"psi(t)=phi(-t) e sempre soluzione su -I, perche cos e pari e la derivata seconda e invariata.",
"eta(t)=-phi(-t) non e in generale una simmetria dell'equazione per alcun r intero.",
"Una soluzione definita attorno a zero e pari se y'(0)=0, per riflessione e unicita.",
"Non segue che ogni soluzione definita in zero sia pari."
],
"required_conditions": [
"La soluzione e considerata su un intervallo che non contiene zeri di cos(t).",
"La conclusione di parita usa un dato di Cauchy completo e unicita."
],
"accepted_equivalences": [
"Verifica diretta nell'equazione originale o nella forma normale."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Argomento di invarianza del campo sotto t -> -t.",
"Contraddizione in t=0 o confronto pari/dispari per escludere soluzioni dispari."
]
},
{
"id": "c",
"weight": 0.24,
"request": "Per r=1 risolvere il problema di Cauchy con (y(0),y'(0))=(a,b).",
"expected_results": [
"y(t)=(a+log|cos(t)|)cos(t)+(b+t)sin(t), per t in (-pi/2,pi/2).",
"La soluzione soddisfa y(0)=a e y'(0)=b ed e l'unica soluzione massimale sul componente contenente zero."
],
"required_conditions": [
"a,b reali.",
"t appartiene a I_0=(-pi/2,pi/2)."
],
"accepted_equivalences": [
"Su I_0 si puo scrivere log(cos(t)) al posto di log|cos(t)|.",
"Qualunque forma algebricamente equivalente ottenuta con Green, convoluzione o variazione delle costanti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Variazione delle costanti.",
"Formula di Duhamel/convoluzione.",
"Riduzione d'ordine o metodo dei coefficienti variabili equivalente."
]
},
{
"id": "d",
"weight": 0.29,
"request": "Rivisitare esistenza-unicita, simmetrie e il caso analogo a r=1 per (y''+|y|^alpha)cos(t)=1.",
"expected_results": [
"Per 0<alpha<1 il campo e continuo ma non localmente Lipschitz in y=0; nonostante cio, per questa equazione l'unicita vale anche per dati y(t0)=0 e le soluzioni sono prolungabili su tutto I_k.",
"Per alpha=0 si adotta |0|^0=1, quindi |y|^0=1 e l'equazione e y''+1=sec(t), con esistenza e unicita globale su I_k.",
"La riflessione psi(t)=phi(-t) resta una simmetria; eta(t)=-phi(-t) no. Con unicita, y'(0)=0 implica parita; la sola riflessione non rende tutte le soluzioni pari.",
"Per alpha=1, nei tratti y>0 vale y''+y=sec(t), mentre nei tratti y<0 vale y''-y=sec(t); le formule oscillatorie e iperboliche sono raccordate agli zeri.",
"Poiche |y| e globalmente Lipschitz, il raccordo per alpha=1 e unico imponendo continuita di y e y'; la soluzione massimale e definita su tutto I_k.",
"Per dati in t=0 il dominio massimale e I_0=(-pi/2,pi/2)."
],
"required_conditions": [
"t0 non e uno zero di cos(t).",
"Per alpha=0 si usa la convenzione |0|^0=1.",
"Le formule per alpha=1 sono usate secondo il segno e il problema di Cauchy viene reimpostato agli zeri imponendo continuita di y e y'."
],
"accepted_equivalences": [
"Per il tratto y<0, combinazioni di exp(t),exp(-t), cosh/sinh o integrale di Duhamel equivalenti.",
"Dimostrazioni equivalenti dell'unicita per 0<alpha<1 e della globalita su I_k.",
"Costruzione iterata equivalente del raccordo unico per alpha=1."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Teoremi di Peano e Cauchy-Lipschitz con analisi del dominio.",
"Stime di crescita/prolungamento.",
"Risoluzione a tratti con variazione delle costanti o Duhamel."
]
}
],
"atomic_criteria": [
{
"criterion_id": "a_T1_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 5,
"description": "Formalizza l'equazione sui componenti corretti e distingue tutti i regimi interi di r rilevanti.",
"full_credit_evidence": [
"Individua I_k e il sistema, il dominio y diverso da zero per r<=-1, separa r=0,1, r pari >=2 e r dispari >=3."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Formalizzazione corretta con un solo regime non distinto."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Forma normale corretta ma classificazione dei regimi incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce soltanto la singolarita di cos o il sistema."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Tratta l'equazione come regolare su tutta R o formalizza un problema diverso."
],
"accepted_equivalences": [
"Qualunque indicizzazione equivalente di I_k."
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore di indicizzazione degli intervalli si penalizza qui una volta sola se poi il componente e usato coerentemente."
},
{
"criterion_id": "a_T2_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 4,
"description": "Sceglie correttamente i teoremi locali e un criterio di prolungamento adeguato.",
"full_credit_evidence": [
"Usa la regolarita locale, la teoria lineare per r=0,1, una stima restaurativa/coerciva per la globalita di r dispari >=3 e distingue il caso pari."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Metodo locale corretto e discussione globale sostanziale ma non completa."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Applica correttamente solo Cauchy-Lipschitz locale."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Cita un teorema pertinente senza impostarne le ipotesi."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodo incompatibile con un campo singolare/non lineare."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Stima energetica o funzione di Lyapunov coerciva",
"Confronto e criterio di prolungamento"
],
"propagated_error_policy": "La confusione originaria tra unicita e globalita si conta qui o in T7, non in entrambi."
},
{
"criterion_id": "a_T3_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 4,
"description": "Deriva correttamente le conclusioni locali e globali per ciascun regime di r.",
"full_credit_evidence": [
"Deriva esistenza-unicita locale per r>=2, globalita su I_k per r=0,1 e per r dispari >=3, e mancata garanzia generale per r pari >=2."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Derivazione corretta salvo una conclusione globale non giustificata."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Sviluppo locale corretto, globalita solo parziale."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un solo caso e sviluppato correttamente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Conclusioni prive di passaggi matematici utilizzabili."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Argomenti energetici o di prolungamento compatibili con la decisione 2026-08-10"
],
"propagated_error_policy": "Un'unica errata classificazione di r non genera penalita ripetute nei passaggi conseguenti."
},
{
"criterion_id": "a_T4_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 4,
"description": "Fornisce una classificazione finale completa di esistenza, unicita e prolungamento.",
"full_credit_evidence": [
"Riporta tutti i regimi, inclusa la globalita per r dispari >=3 e la mancata garanzia per r pari >=2, con i relativi domini."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Manca un caso secondario."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Risultati locali corretti ma globalita incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo una conclusione corretta isolata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Classificazione finale assente o sostanzialmente errata."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 puo riflettere l'effetto finale di un errore gia registrato, senza creare un nuovo errore causale."
},
{
"criterion_id": "a_T5_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 4,
"description": "Specifica intervalli, dato completo e dominio in y per esponenti negativi.",
"full_credit_evidence": [
"t0 in I_k, dato iniziale ammissibile per lo stato del secondo ordine (anche con notazione compatta come nella soluzione ufficiale), e valore iniziale di y diverso da zero se r<=-1."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Una condizione e lasciata implicita ma rispettata."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Manca una condizione significativa."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Domini solo parzialmente riconosciuti."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Ammette dati ai poli di sec o y0=0 per r<0 senza trattare l'indefinitezza."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "La stessa omissione di dominio non va ripenalizzata altrove."
},
{
"criterion_id": "a_T6_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Controlla la plausibilita delle conclusioni globali rispetto al segno di -y^r e alla crescita.",
"full_credit_evidence": [
"Controlla poli e dominio per r<=-1, linearita per r=0,1, carattere restaurativo/coercivo per r dispari >=3 e differenza del caso pari."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controllo corretto ma implicito."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Riconosce soltanto uno dei controlli decisivi."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Controllo debole ma non contraddittorio."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Ignora sia i poli di sec sia la restrizione y diverso da zero per r<=-1."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Ritratto di fase qualitativo"
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare un errore globale gia interamente conteggiato in T3."
},
{
"criterion_id": "a_T7_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 3,
"description": "Distingue rigorosamente esistenza locale, unicita massimale e globalita su I_k.",
"full_credit_evidence": [
"Distingue esistenza-unicita locale, unicita massimale e globalita su I_k per r=0,1 e r dispari >=3, senza estenderla automaticamente a r pari >=2."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Terminologia quasi sempre corretta con una lieve ambiguita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Confonde una volta unicita globale e soluzione globale."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Teorema pertinente ma conclusioni poco giustificate."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Deduce esistenza globale per ogni r>=2 dal solo teorema locale oppure nega la globalita per tutti gli r dispari >=3 senza affrontare il termine restaurativo."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Se la confusione e gia l'errore metodologico principale in T2, qui si valuta solo l'uso autonomo del teorema."
},
{
"criterion_id": "a_T8_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T8",
"max_points": 1,
"description": "Esegue un controllo di dominio o crescita su almeno un caso limite decisivo.",
"full_credit_evidence": [
"Controlla un polo di sec, r negativo presso y=0 oppure una stima energetica/coerciva per r dispari >=3."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controllo quasi completo."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Controllo pertinente ma solo accennato."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Cita il caso limite senza verificarlo."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun controllo tecnico pertinente."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Nessuna doppia penalita per lo stesso errore di dominio."
},
{
"criterion_id": "b_T1_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 4,
"description": "Identifica correttamente le due trasformazioni e il ruolo del dato derivativo nella parita.",
"full_credit_evidence": [
"Distingue psi da eta e riconosce che a t=0 serve confrontare sia y sia y'."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Trasformazioni corrette, conseguenza sulla parita incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo psi e formalizzata correttamente."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce genericamente la simmetria temporale."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Confonde riflessione temporale e cambio di segno."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un segno errato nella derivata prima si registra una volta."
},
{
"criterion_id": "b_T2_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 3,
"description": "Imposta sostituzione diretta e confronto dei dati di Cauchy per usare l'unicita.",
"full_credit_evidence": [
"Calcola le derivate trasformate e applica unicita solo quando i due dati coincidono."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Impostazione corretta con un controllo omesso."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Sostituzione corretta ma argomento di unicita incompleto."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Strategia solo enunciata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Usa una simmetria non posseduta dall'equazione."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Invarianza del campo"
],
"propagated_error_policy": "Penalizzare alla fonte un errore nella trasformazione."
},
{
"criterion_id": "b_T3_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 4,
"description": "Calcola correttamente psi', psi'', eta', eta'' e le sostituisce nell'equazione.",
"full_credit_evidence": [
"Ottiene psi''(t)=phi''(-t), usa cos(-t)=cos(t) e mostra che eta non funziona in generale."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Calcoli corretti salvo un segno locale non decisivo."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Verifica completa solo per psi."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Calcoli frammentari ma utili."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Derivate trasformate e conclusioni entrambe errate."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Verifica astratta della reversibilita"
],
"propagated_error_policy": "Un segno iniziale propagato non conta come piu errori."
},
{
"criterion_id": "b_T4_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 3,
"description": "Conclude correttamente su psi, eta e sulla condizione sufficiente di parita.",
"full_credit_evidence": [
"psi si; eta no in generale; y'(0)=0 implica parita; la sola riflessione non rende tutte le soluzioni pari."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Tre conclusioni essenziali su quattro corrette."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Simmetrie corrette ma parita incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Una conclusione corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Conclusioni tutte assenti o invertite."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "L'effetto finale di un errore di segno puo ridurre T4 senza nuovo errore causale."
},
{
"criterion_id": "b_T5_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 1,
"description": "Rispetta i domini I, -I e l'intervallo simmetrico necessario per parlare di parita.",
"full_credit_evidence": [
"Le trasformazioni sono definite sui domini corretti e la parita e riferita a un intorno simmetrico di zero."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Dominio implicito ma corretto."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una specificazione manca."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Dominio solo vagamente indicato."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Confronta funzioni su domini incompatibili."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Omissione di dominio conteggiata solo qui."
},
{
"criterion_id": "b_T6_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Controlla la coerenza della simmetria con i dati iniziali e con la forzante pari.",
"full_credit_evidence": [
"Osserva che la riflessione cambia il segno di y'(0), non di y(0), e che sec e pari."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controllo sostanziale ma implicito."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Controlla un solo aspetto."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Plausibilita solo accennata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Conclusione incompatibile con i dati trasformati."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non duplicare il calcolo gia valutato in T3."
},
{
"criterion_id": "b_T7_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 2,
"description": "Usa correttamente l'unicita con il dato completo e distingue implicazione da equivalenza.",
"full_credit_evidence": [
"Conclude parita soltanto sotto y'(0)=0 e non dalla sola uguaglianza dei valori in zero."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso corretto con condizione implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Argomento incompleto ma recuperabile."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Invoca unicita senza confrontare entrambi i dati."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Deduce che tutte le soluzioni sono pari dalla sola simmetria."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "La medesima omissione del dato derivativo non e un secondo errore in T1."
},
{
"criterion_id": "b_T8_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T8",
"max_points": 1,
"description": "Verifica direttamente almeno una trasformazione e il dato derivativo in zero.",
"full_credit_evidence": [
"Sostituzione esplicita e controllo psi'(0)=-phi'(0)."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Entrambi quasi completi."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Un solo controllo completo."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Controllo solo dichiarato."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessuna verifica."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non richiedere una seconda verifica ridondante."
},
{
"criterion_id": "c_T1_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 3,
"description": "Riconosce un problema lineare non omogeneo del secondo ordine sul componente I_0.",
"full_credit_evidence": [
"Identifica omogenea y''+y=0, forzante sec(t), due costanti e dato in zero."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Formalizzazione corretta con dominio implicito."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Riconosce struttura lineare e omogenea."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo alcuni oggetti corretti."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Imposta un'equazione differente."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore nella forzante si registra qui o in T3 secondo la sua origine."
},
{
"criterion_id": "c_T2_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 4,
"description": "Imposta un metodo completo per la soluzione non omogenea e per i dati iniziali.",
"full_credit_evidence": [
"Usa base cos,sin e variazione delle costanti/Duhamel con normalizzazione coerente."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Metodo corretto con lieve omissione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Impostazione promettente ma particolare incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo soluzione omogenea corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodo incompatibile con l'equazione."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Duhamel",
"Variazione delle costanti",
"Green"
],
"propagated_error_policy": "Un errore nella particolare non annulla il credito per il metodo omogeneo corretto."
},
{
"criterion_id": "c_T3_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 6,
"description": "Calcola la particolare e impone correttamente entrambi i dati iniziali.",
"full_credit_evidence": [
"Ottiene c1=log|cos(t)|, c2=t (a meno di costanti assorbite) e A=a, B=b."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Un errore algebrico locale non altera la struttura."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Particolare o imposizione dati parzialmente corretta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo omogenea e un passaggio utile."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessuno sviluppo utilizzabile."
],
"accepted_equivalences": [
"Integrale di Duhamel non esplicitamente semplificato ma corretto."
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un segno errato nella particolare, se propagato coerentemente, e un solo errore originario."
},
{
"criterion_id": "c_T4_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 4,
"description": "Presenta la soluzione finale corretta con parametri e intervallo.",
"full_credit_evidence": [
"y=(a+log|cos t|)cos t+(b+t)sin t su (-pi/2,pi/2)."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Formula corretta con dominio omesso o difetto minore."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Formula strutturalmente corretta con un termine errato."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo omogenea corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Risultato assente o incompatibile."
],
"accepted_equivalences": [
"log(cos t) su I_0",
"Forma integrale equivalente"
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 registra l'impatto finale senza moltiplicare un errore di T3."
},
{
"criterion_id": "c_T5_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 2,
"description": "Specifica a,b reali e l'intervallo massimale I_0.",
"full_credit_evidence": [
"a,b in R e t in (-pi/2,pi/2)."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Una specificazione implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Intervallo o natura reale omessi."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Dominio vagamente corretto."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Pretende una soluzione classica attraverso i poli di cos."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Dominio omesso penalizzato una volta."
},
{
"criterion_id": "c_T6_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Controlla dipendenza lineare da a,b e la parita nel caso b=0.",
"full_credit_evidence": [
"La formula assume i dati corretti ed e pari quando b=0."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controllo corretto ma implicito."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Un solo controllo."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Coerenza solo parziale."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"La formula non puo assumere i dati dichiarati."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non duplicare la verifica dettagliata assegnata a T8."
},
{
"criterion_id": "c_T7_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 1,
"description": "Usa correttamente la struttura delle soluzioni di un'equazione lineare non omogenea.",
"full_credit_evidence": [
"Somma particolare piu spazio bidimensionale dell'omogenea e unicita del dato."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Struttura corretta quasi interamente."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una componente e implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Uso debole ma pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Struttura affine delle soluzioni usata in modo falso."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Nessun doppio conteggio di un errore algebrico."
},
{
"criterion_id": "c_T8_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T8",
"max_points": 2,
"description": "Controlla la formula ottenuta e l'imposizione delle condizioni iniziali.",
"full_credit_evidence": [
"La derivazione per variazione delle costanti e l'imposizione A=a, B=b, come nella soluzione ufficiale, oppure una verifica diretta equivalente, confermano formula e dati."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Verifiche decisive presenti con lieve omissione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Controlla solo i dati o solo l'equazione."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Verifica solo dichiarata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessuna verifica o verifica errata che non rileva un'incompatibilita."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Verifica tramite formula di Duhamel normalizzata"
],
"propagated_error_policy": "Non richiedere un secondo metodo se sostituzione e dati sono gia controllati."
},
{
"criterion_id": "d_T1_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 4,
"description": "Riconosce la perdita di Lipschitzianita per 0<alpha<1 senza confonderla con non unicita e tratta la convenzione alpha=0.",
"full_credit_evidence": [
"Per 0<alpha<1 riconosce continuita e non-Lipschitzianita in y=0 ma conclude unicita e globalita su I_k per l'equazione specifica; per alpha=0 adotta |0|^0=1."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Conclusione corretta con un'ipotesi implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Riconosce continuita o perdita di Lipschitzianita ma non entrambe."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce genericamente il caso delicato."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Deduce non unicita dalla sola non-Lipschitzianita oppure usa una convenzione alpha=0 incompatibile con |0|^0=1."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore originario sulla non-Lipschitzianita o sulla convenzione alpha=0 si penalizza una volta sola."
},
{
"criterion_id": "d_T1_02",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 4,
"description": "Formalizza il caso alpha=1 come equazione lineare diversa nelle regioni y>0 e y<0, con eventi agli zeri.",
"full_credit_evidence": [
"y''+y=sec per y>0; y''-y=sec per y<0; raccordo unico agli zeri con continuita di y e y'."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Due regioni corrette, raccordo poco esplicito."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Riconosce entrambe le equazioni ma le considera globali."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Riconosce una sola regione."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Linearizza globalmente con un unico segno senza condizioni."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Descrizione come sistema piecewise-smooth"
],
"propagated_error_policy": "L'omesso raccordo e un solo errore strutturale."
},
{
"criterion_id": "d_T2_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 4,
"description": "Sceglie teoremi adeguati per i regimi di alpha e una strategia a tratti per alpha=1.",
"full_credit_evidence": [
"Distingue perdita di Lipschitzianita e unicita effettiva per 0<alpha<1, usa la teoria lineare per alpha=0 e risolve/raccorda univocamente i tratti per alpha=1."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Strategia corretta con un regime omesso."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo analisi locale o solo soluzione a tratti corretta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un metodo pertinente non completato."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodo ignora sia singolarita sia cambio di segno."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Stime integrali o energetiche per unicita e prolungamento",
"Ritratto di fase locale"
],
"propagated_error_policy": "Un metodo globalmente lineare errato e penalizzato alla fonte, non a ogni tratto."
},
{
"criterion_id": "d_T3_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 3,
"description": "Deriva unicita e prolungabilita globale su I_k per 0<alpha<1 e tratta il caso alpha=0.",
"full_credit_evidence": [
"Conclude unicita anche per dati y(t0)=0 e prolungabilita su I_k quando 0<alpha<1; per alpha=0 ricava y''+1=sec(t) con soluzione globale su I_k."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Conclusione sostanzialmente corretta con una lieve ambiguita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Esistenza corretta ma unicita non discussa, o viceversa."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un solo elemento locale pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Afferma non unicita per 0<alpha<1 senza prova compatibile o tratta alpha=0 con una convenzione diversa da quella fissata."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Stima energetica, criterio di Osgood o confronto equivalente correttamente applicato"
],
"propagated_error_policy": "La stessa inferenza errata dalla non-Lipschitzianita non viene ripenalizzata in T7."
},
{
"criterion_id": "d_T3_02",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 3,
"description": "Calcola correttamente le formule locali per alpha=1 e i dati al raccordo.",
"full_credit_evidence": [
"Formula oscillatorica per y>0 e formula iperbolica/Duhamel per y<0, con costanti dai dati e raccordi unici agli zeri."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Formule corrette con un dettaglio di raccordo omesso."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una regione corretta e l'altra impostata."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Una sola formula locale parziale."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Calcoli inutilizzabili in entrambe le regioni."
],
"accepted_equivalences": [
"Forma esponenziale equivalente alla forma iperbolica"
],
"accepted_alternative_methods": [
"Duhamel con origine nel tempo di raccordo"
],
"propagated_error_policy": "Un segno errato nella particolare propagato coerentemente conta una volta."
},
{
"criterion_id": "d_T4_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 4,
"description": "Copre le revisioni di (a), (b), (c) trattate dalla soluzione ufficiale.",
"full_credit_evidence": [
"Copre unicita/globalita per 0<alpha<1, convenzione e soluzione globale per alpha=0, simmetrie e raccordo unico/globale su I_k per alpha=1."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Un sottocaso secondario manca."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Due dei tre aspetti sono corretti."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un solo aspetto corretto."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Risposta finale assente o globalmente incompatibile."
],
"accepted_equivalences": [
"Segnalazione motivata che non esiste formula elementare per alpha generale"
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 riflette la copertura finale senza duplicare cause gia valutate."
},
{
"criterion_id": "d_T5_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 3,
"description": "Gestisce il dominio su I_k, la convenzione alpha=0 e gli intervalli di segno/raccordi per alpha=1.",
"full_credit_evidence": [
"Rispetta i componenti separati dai poli di cos; per alpha=0 e per 0<alpha<1 usa tutto I_k; per alpha=1 raccorda univocamente i tratti fino a coprire I_k."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Una condizione resta implicita ma e rispettata."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Domini principali corretti ma raccordi omessi."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Una sola condizione corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Usa espressioni non definite, include poli di sec oppure tronca il dominio senza giustificazione incompatibilmente con la decisione."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "La medesima omissione di dominio o raccordo non va ripenalizzata in altri criteri."
},
{
"criterion_id": "d_T6_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Controlla segno locale e coerenza delle formule ai dati a=0 e agli zeri.",
"full_credit_evidence": [
"Controlla segno locale, continuita di y e y' agli zeri e coerenza del raccordo unico; per a=b=0 usa y''(0)=1."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controlli corretti ma non tutti espliciti."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Un controllo decisivo corretto."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Plausibilita solo accennata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Formula locale contraddice il proprio segno assunto e l'incompatibilita non e riconosciuta."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Sviluppo di Taylor locale"
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare l'omesso raccordo gia valutato in T1/T5."
},
{
"criterion_id": "d_T7_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 1,
"description": "Distingue la perdita della condizione sufficiente di Lipschitz dall'unicita effettiva e applica rigorosamente il risultato corretto.",
"full_credit_evidence": [
"Spiega che Picard-Lindelof non e direttamente applicabile per 0<alpha<1, ma giustifica comunque unicita e prolungabilita su I_k per l'equazione specifica."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Distinzione sostanziale con lieve ambiguita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Teoremi corretti ma conclusione troppo forte."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Citazione pertinente senza ipotesi."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Afferma non unicita esclusivamente perche manca Lipschitz oppure usa la non-Lipschitzianita come conclusione definitiva."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Stima energetica, Osgood o teorema alternativo correttamente applicato"
],
"propagated_error_policy": "La medesima inferenza non si penalizza nuovamente in T3."
},
{
"criterion_id": "d_T8_01",
"subproblem_id": "d",
"primary_dimension": "T8",
"max_points": 1,
"description": "Verifica almeno un raccordo o una formula locale nell'equazione e nei dati.",
"full_credit_evidence": [
"Verifica una formula locale, il raccordo con continuita di y e y', la convenzione alpha=0 oppure una stima di unicita/prolungamento per 0<alpha<1."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controllo quasi completo."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Controllo parziale pertinente."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Controllo solo menzionato."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun controllo autonomo."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Sviluppo locale",
"Sostituzione diretta"
],
"propagated_error_policy": "Non richiedere verifiche ridondanti di ogni tratto."
}
],
"dimension_applicability": {
"T1": "applicable",
"T2": "applicable",
"T3": "applicable",
"T4": "applicable",
"T5": "applicable",
"T6": "applicable",
"T7": "applicable",
"T8": "applicable"
},
"dimension_applicability_notes": {
"T8": "Applicable because the exercise admits direct substitution, initial-data checks, symmetry checks, energy/growth checks, and sign/raccordo checks; these are independent and technically meaningful."
},
"dimension_point_budget": {
"T1": 20,
"T2": 15,
"T3": 20,
"T4": 15,
"T5": 10,
"T6": 8,
"T7": 7,
"T8": 5
},
"human_review_triggers": [
"Possibile conflitto con la reference corretta o applicazione di un metodo alternativo avanzato non verificabile con sicurezza.",
"Una risposta propone una classificazione diversa da quella fissata dalla decisione 2026-08-10 e la sua validita non e verificabile con sicurezza."
],
"rubric_specific_caps": [],
"human_approval": {
"approved": true,
"reviewer": "benchmark_owner_via_codex_task",
"date": "2026-08-10",
"approval_source": "Explicit approval in Codex task clarifying that 'procedi alla rivalutazione' referred to freeze of this rubric 1.1.",
"decision_id": "2026-08-10_primoapp_esercizio_3_reference_correction_v1"
}
}