Complete frozen rubricOriginal Italian record · exact JSON · SHA-256 be1f2fad6386…+
{
"rubric_version": "1.0",
"judge_spec_version": "2.0",
"item_id": "analisi_3_2025_terzo_appello_esercizio_3",
"syllabus_macroarea": "Sistemi differenziali autonomi e lineari",
"topic": "Esistenza e unicita, equilibri, integrale primo, orbite, problemi di Cauchy e riparametrizzazione temporale",
"task_type": "mixed",
"created_without_model_answers": true,
"frozen": true,
"reference_status": "possible_issue",
"reference_notes": "La soluzione e stata verificata indipendentemente ed e corretta nei risultati sostanziali, con una evidente riga estranea/OCR nel caso iniziale (1,0): subito dopo y(t)=tan(2t)/2 compare l'intervallo (-log(2)/3,+infinito), incompatibile con la formula; il dominio massimale corretto, confermato nella riga successiva, e (-pi/4,pi/4). Inoltre 'equivalente al sistema lineare' va inteso come equivalenza delle orbite fuori dall'asse y tramite riparametrizzazione: il campo non lineare e x volte quello lineare, e per x<0 l'orientazione temporale si inverte. Per il sistema non lineare: equilibrio (0,1); dal dato (1,0), (sec(2t),tan(2t)/2) su (-pi/4,pi/4); dal dato (2,-1), (2/(1+4t),-1/(1+4t)) su (-1/4,+infinito). Per il lineare dal dato (2,-1): (2e^(-2t),-e^(-2t)) su R.",
"subproblems": [
{
"id": "a",
"weight": 0.42105263157894735,
"request": "Discutere esistenza e unicita, determinare equilibri e orbite e rappresentare il ritratto di fase.",
"expected_results": [
"Esistenza e unicita locale per ogni dato e unicita della soluzione massimale; l'esistenza globale non e garantita dalla teoria per crescita quadratica.",
"Gli equilibri sono tutti e soli i punti x=0.",
"Fuori dall'asse y, H=x^2-4y^2 e costante; le orbite giacciono sulle iperboli H=k e sulle rette y=+-x/2 per k=0, spezzate dagli equilibri quando incontrano x=0.",
"Il verso del campo soddisfa ydot=x^2>0 fuori dagli equilibri."
],
"required_conditions": [
"Non confondere unicita globale con esistenza globale.",
"Distinguere curve di livello e singole orbite separate dagli equilibri."
],
"accepted_equivalences": [
"Integrale primo moltiplicato per una costante non nulla.",
"Descrizione qualitativa equivalente delle componenti con k positivo, nullo o negativo."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Equazione dy/dx=x/(4y).",
"Analisi tramite u=x+2y e v=x-2y."
]
},
{
"id": "b",
"weight": 0.3684210526315789,
"request": "Risolvere i tre problemi di Cauchy assegnati per il sistema non lineare.",
"expected_results": [
"(0,1) produce la soluzione costante (0,1) su R.",
"(1,0) produce x=sec(2t), y=tan(2t)/2 su (-pi/4,pi/4).",
"(2,-1) produce x=2/(1+4t), y=-1/(1+4t) su (-1/4,+infinito)."
],
"required_conditions": [
"Scegliere il ramo coerente col dato iniziale.",
"Indicare gli intervalli massimali."
],
"accepted_equivalences": [
"Forme trigonometriche/algebriche equivalenti."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Separazione dopo uso dell'integrale primo.",
"Risoluzione diretta lungo le rette invarianti."
]
},
{
"id": "c",
"weight": 0.21052631578947367,
"request": "Risolvere il sistema lineare col dato (2,-1) e spiegare la relazione con i punti precedenti.",
"expected_results": [
"x=2e^(-2t), y=-e^(-2t) per ogni t reale.",
"La traiettoria e la stessa semiretta y=-x/2, x>0 percorsa dalla soluzione non lineare, ma con diversa parametrizzazione temporale."
],
"required_conditions": [
"Distinguere uguaglianza delle orbite da uguaglianza delle soluzioni temporali."
],
"accepted_equivalences": [
"Soluzione ottenuta con diagonalizzazione, esponenziale di matrice o variabili x+-2y."
],
"accepted_alternative_methods": [
"Riduzione a equazione scalare del secondo ordine."
]
}
],
"atomic_criteria": [
{
"criterion_id": "a_T1_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 9,
"description": "Formalizza correttamente il problema autonomo, gli equilibri e il concetto di orbita/livello.",
"full_credit_evidence": [
"Campo f=(4xy,x^2), equilibri x=0 e orbite come componenti dei livelli x^2-4y^2=k separate dagli equilibri."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Formalizzazione sostanzialmente completa con lieve omissione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Equilibri o struttura delle orbite incompleti."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un solo elemento pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Sistema o oggetti qualitativi fraintesi."
],
"accepted_equivalences": [
"Integrale primo (x^2-4y^2)/2."
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore originario nell'integrale primo si penalizza qui una volta."
},
{
"criterion_id": "a_T2_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 7,
"description": "Sceglie teoremi locali appropriati e un metodo valido per determinare il ritratto di fase.",
"full_credit_evidence": [
"Cauchy-Lipschitz locale e integrale primo/equazione totale, con analisi delle componenti e del verso."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Strategia completa con lieve lacuna."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo teoria di Cauchy o orbite ben impostata."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Metodo pertinente appena abbozzato."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodi inapplicabili."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"dy/dx e fattorizzazione delle variabili caratteristiche."
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare qui errori di calcolo."
},
{
"criterion_id": "a_T3_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 8,
"description": "Deriva l'integrale primo e analizza correttamente livelli, separazione per l'asse y e direzione del moto.",
"full_credit_evidence": [
"d/dt(x^2-4y^2)=0; classificazione per k e ydot=x^2>0 fuori dall'asse."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Sviluppo corretto con un dettaglio qualitativo omesso."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Integrale primo corretto ma analisi delle orbite incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un solo calcolo utile."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessuno sviluppo valido."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un unico errore di segno propagato non va contato piu volte."
},
{
"criterion_id": "a_T4_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 6,
"description": "Fornisce conclusioni complete su teoria a priori, equilibri e ritratto di fase.",
"full_credit_evidence": [
"Esistenza/unicita locale, nessuna garanzia generale di globalita, asse y di equilibri, iperboli/asintoti con componenti e versi corretti."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Conclusioni corrette con un aspetto secondario omesso."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Due dei tre deliverable corretti."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un solo deliverable corretto."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Conclusioni assenti o incompatibili."
],
"accepted_equivalences": [
"Descrizione verbale inequivoca al posto del disegno."
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 valuta gli esiti distinti."
},
{
"criterion_id": "a_T5_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 4,
"description": "Distingue esistenza locale, intervallo massimale, unicita e possibile esplosione finita.",
"full_credit_evidence": [
"f e C-infinito e localmente Lipschitz; crescita quadratica non assicura esistenza per ogni t."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Distinzione corretta con lieve ambiguita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Teorema locale corretto ma globalita confusa."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo una condizione pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Afferma esistenza globale per sola regolarita C-infinito."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "La stessa confusione locale/globale e un solo errore causale."
},
{
"criterion_id": "a_T6_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 3,
"description": "Controlla geometria e verso del ritratto di fase rispetto al campo.",
"full_credit_evidence": [
"Asintoti y=+-x/2, y cresce fuori dagli equilibri e nessuna orbita attraversa un equilibrio."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controlli quasi completi."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Un controllo decisivo corretto."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Plausibilita accennata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Ritratto incompatibile col campo."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non moltiplicare conseguenze geometriche di un solo errore."
},
{
"criterion_id": "a_T7_01",
"subproblem_id": "a",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 3,
"description": "Usa rigorosamente Cauchy-Lipschitz e la nozione di integrale primo/orbita.",
"full_credit_evidence": [
"Non deduce globalita da ipotesi locali e distingue un livello dalla sua decomposizione in orbite."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso corretto con lieve omissione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Una nozione corretta e l'altra incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Citazione pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Teoremi o definizioni centrali falsi."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non penalizzare qui l'algebra."
},
{
"criterion_id": "b_T1_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 7,
"description": "Associa correttamente ciascun dato iniziale al livello e al ramo pertinente.",
"full_credit_evidence": [
"(0,1) equilibrio; (1,0) livello k=1 con x>0; (2,-1) livello k=0 sulla semiretta y=-x/2, x>0."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Due casi completi e terzo sostanzialmente corretto."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Due casi corretti."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un caso corretto."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun dato associato correttamente."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore nel livello si penalizza una volta."
},
{
"criterion_id": "b_T2_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 5,
"description": "Sceglie separazione delle variabili o un metodo equivalente e seleziona i rami dai dati.",
"full_credit_evidence": [
"Usa ydot=x^2 insieme all'integrale primo, e per k=0 usa la retta invariante corretta."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Metodi corretti con lieve lacuna."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Due casi ben impostati."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un caso ben impostato."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodi incompatibili."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Sostituzione diretta e riduzione scalare."
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare errori di integrazione."
},
{
"criterion_id": "b_T3_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 8,
"description": "Integra correttamente i tre problemi e determina le costanti dai dati.",
"full_credit_evidence": [
"Soluzione costante; sec/tan per (1,0); funzioni razionali per (2,-1)."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Due soluzioni complete e una con errore locale."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Due soluzioni corrette."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Una soluzione corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessuna soluzione valida."
],
"accepted_equivalences": [
"Forme algebriche/trigonometriche equivalenti."
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore di integrazione propagato coerentemente conta una volta, oltre all'esito distinto."
},
{
"criterion_id": "b_T4_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 6,
"description": "Fornisce tutte le soluzioni finali con i rispettivi intervalli massimali.",
"full_credit_evidence": [
"(0,1) su R; (sec2t,tan2t/2) su (-pi/4,pi/4); (2/(1+4t),-1/(1+4t)) su (-1/4,+infinito)."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Tutte le formule corrette con un intervallo omesso."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Due casi completi."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un caso completo."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun risultato corretto."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 valuta formule/intervalli come deliverable distinti."
},
{
"criterion_id": "b_T5_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 4,
"description": "Sceglie segni e rami corretti e determina i domini massimali dalle singolarita.",
"full_credit_evidence": [
"x>0 nei due casi non equilibrati; poli a +-pi/4 e t=-1/4 esclusi con componenti contenenti 0."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Condizioni corrette con una implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Rami corretti ma un dominio errato, o viceversa."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Una sola condizione corretta."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Rami/domìni incompatibili coi dati."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non duplicare la stessa singolarita in piu criteri causali."
},
{
"criterion_id": "b_T6_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 3,
"description": "Controlla dati iniziali, integrale primo e compatibilita col sistema.",
"full_credit_evidence": [
"Le formule assumono i dati, restano sulle orbite assegnate e soddisfano le equazioni."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controlli quasi completi."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Controlla correttamente almeno due casi."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un controllo corretto."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Formule manifestamente incompatibili e non controllate."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non richiedere una seconda sostituzione ridondante per ogni formula."
},
{
"criterion_id": "b_T7_01",
"subproblem_id": "b",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 2,
"description": "Usa correttamente soluzione massimale, separazione e unicita nella scelta dei rami.",
"full_credit_evidence": [
"Gli intervalli sono le componenti massimali contenenti t=0 e i rami rispettano il dato per unicita."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Uso corretto con lieve omissione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Nozioni corrette ma incomplete."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Richiamo pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Uso teorico falso."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non penalizzare aritmetica."
},
{
"criterion_id": "c_T1_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T1",
"max_points": 4,
"description": "Formalizza il sistema lineare e la relazione orbitale col sistema non lineare.",
"full_credit_evidence": [
"Matrice [[0,4],[1,0]] e campo non lineare uguale a x volte il campo lineare."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Entrambi gli aspetti corretti con lieve omissione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo sistema o relazione completo."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un elemento pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Sistema o relazione errati."
],
"accepted_equivalences": [
"Confronto dy/dx identico fuori da x=0."
],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Un errore nella matrice si penalizza una volta."
},
{
"criterion_id": "c_T2_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T2",
"max_points": 3,
"description": "Sceglie un metodo corretto per il sistema lineare e un confronto geometrico delle traiettorie.",
"full_credit_evidence": [
"Diagonalizzazione/esponenziale o riduzione scalare, seguita dal confronto delle orbite."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Metodo completo con lieve lacuna."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Soluzione ben impostata ma confronto incompleto."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo metodo accennato."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Metodo incompatibile."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [
"Variabili x+2y e x-2y."
],
"propagated_error_policy": "Non duplicare errori di calcolo."
},
{
"criterion_id": "c_T3_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T3",
"max_points": 4,
"description": "Calcola la soluzione lineare col dato assegnato.",
"full_credit_evidence": [
"x=2e^(-2t), y=-e^(-2t)."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Errore locale minore con struttura corretta."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Modo proprio corretto ma costanti incomplete."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un passaggio utile."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Nessun calcolo valido."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Penalizzare una volta l'errore causale."
},
{
"criterion_id": "c_T4_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T4",
"max_points": 3,
"description": "Fornisce la soluzione globale e spiega correttamente che la semiretta e la stessa ma la parametrizzazione temporale e diversa.",
"full_credit_evidence": [
"Soluzione su R e stessa orbita y=-x/2,x>0 della soluzione non lineare."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Conclusione corretta con lieve omissione."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Formula o relazione completa, l'altra incompleta."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Un risultato parziale."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Risultato assente o errato."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "T4 valuta i deliverable finali."
},
{
"criterion_id": "c_T5_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T5",
"max_points": 2,
"description": "Indica il dominio R del sistema lineare e limita l'equivalenza orbitale alla regione x non nullo.",
"full_credit_evidence": [
"Soluzione lineare globale e confronto sulla semiretta x>0."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Condizioni rispettate con una implicita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Solo una condizione esplicita."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Controllo parziale."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Dominio o confronto incompatibile."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non duplicare l'intervallo in T4."
},
{
"criterion_id": "c_T6_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T6",
"max_points": 2,
"description": "Controlla dato iniziale, equazioni e appartenenza alla semiretta.",
"full_credit_evidence": [
"A t=0 vale (2,-1), y=-x/2 e le derivate soddisfano il sistema."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Controlli quasi completi."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Un controllo decisivo."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Plausibilita accennata."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Incoerenza manifesta."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "Non moltiplicare un solo errore."
},
{
"criterion_id": "c_T7_01",
"subproblem_id": "c",
"primary_dimension": "T7",
"max_points": 2,
"description": "Distingue rigorosamente equivalenza delle orbite, riparametrizzazione e identita delle soluzioni.",
"full_credit_evidence": [
"Non afferma che le due soluzioni temporali coincidano; riconosce il fattore x tra i campi."
],
"partial_credit_rules": [
{
"credit_fraction": 0.75,
"anchor": "Distinzione corretta con lieve ambiguita."
},
{
"credit_fraction": 0.5,
"anchor": "Relazione sostanziale corretta ma non formalizzata."
},
{
"credit_fraction": 0.25,
"anchor": "Solo richiamo pertinente."
}
],
"zero_credit_conditions": [
"Identifica erroneamente le due soluzioni."
],
"accepted_equivalences": [],
"accepted_alternative_methods": [],
"propagated_error_policy": "La stessa confusione concettuale conta una volta."
}
],
"dimension_applicability": {
"T1": "applicable",
"T2": "applicable",
"T3": "applicable",
"T4": "applicable",
"T5": "applicable",
"T6": "applicable",
"T7": "applicable",
"T8": "not_applicable"
},
"dimension_applicability_notes": {
"T8": "Non applicabile: il testo non richiede una verifica autonoma distinta e i controlli naturali su dati iniziali, orbite e sistema sono gia valutati in T6."
},
"dimension_point_budget": {
"T1": 20,
"T2": 15,
"T3": 20,
"T4": 15,
"T5": 10,
"T6": 8,
"T7": 7,
"T8": 5
},
"human_review_triggers": [
"Una risposta usa come gold l'intervallo estraneo (-log(2)/3,+infinito) che compare nella trascrizione ufficiale per il dato (1,0), anziche il dominio coerente (-pi/4,pi/4).",
"Una risposta interpreta l'equivalenza col sistema lineare come identita dei campi o propone una diversa decomposizione/orientazione delle orbite che non sia verificabile con sicurezza."
],
"rubric_specific_caps": [],
"human_approval": {
"approved": true,
"reviewer": "benchmark_owner_via_codex_task",
"date": "2026-07-18"
}
}